数学建模：运筹优化类——线性规划

琵琶一曲五千年

目录1.线性规划2.线性规划模型三要素3.模型特点4.建模步骤5.案例演示1.线性规划线性规划（LP）是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。可为合理利用有限人力、物力、财力等资源作出最优决策，提供科学依据。 2.线性规划模型三要素决策变量：问题中要确定的未知量，用于表明规划问题中的用数量表示的方案、措施等，可由决策者决定和控制。目标函数：决策变量的函数，优化目标通常是求该函数的最大值或最小值。约束条件：决策变量的取值所受到的约束和限制条件，通常用含有决策变量的等式或不等式表示。3.模型特点要解决的问题是优化类的（即在有限的资源条件下，获取最大的收益）。目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数，即不存在等。线性规划模型：在一组线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值。4.建模步骤1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量。2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数。3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。5.案例演示5.1游戏升满级题目：该游戏每天有100点体力，可通过反复通关A、B、C三张地图来获取经验升级，通关A图可获得20点经验，通关B图可获得30点经验，通关C图可获得45点经验，但通关地图会消耗体力，其中通关A图消耗4点体力，通关B图消耗8点体力，通关C图消耗5点体力，同时A、B、C三图每天加在一起最多通关20次，求该怎么组合通关ABC三个地图的次数来使今天获得的经验最大？解答：由上题可知：决策变量：三个地图通关次数。设A、B、C三个地图通关的次数分别为，，。目标函数：获得的经验最高。设经验为y，。约束条件：消耗体力不能超过100（），三个地图最多超过20次（），隐藏约束条件（）,用一般形式（代数形式）表现为：转换为矩阵表现形式为：其中：——目标函数的系统向量，即价值向量；——决策向量；——约束方程组的系数矩阵；——约束方程组的常数向量。编程实现：importnumpyasnpfromscipy.optimizeimportlinprog#目标函数系数，这里取负值，因为linprog默认进行最小优化c=[-20,-30,-45]#不等式约束的系数矩阵A_ub=[[4,8,15],[1,1,1]]#不等式约束的右侧向量值bb_ub=[100,20]#定义域bounds=[[0,None],[0,None],[0,None]]#求解线性规划问题#注意：由于linprog默认是求解最小化问题，我们通过对目标函数系数取负值来转换为最大化问题result=linprog(c,A_ub,b_ub,bounds=bounds)#输出结果print('A、B、C三图分别通关的次数为：',result.x)#解向量#目标函数的最大值是最小化问题的相反数y=-result.funprint('最终获得的经验为：',y)输出结果如下，可知通过通关A图15次，B图5次，C图0次即可获得今天经验最大450值：5.2投资选择题目：市场上有n种资产（如股票、债券、......）（i=1,2,...,n）供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买资产的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是（=5%），且既无交易又无风险。已知n=4时的相关数据如表所示：（%）（%）（%）（元）282.51103211.52198235.54.552252.66.540问：给上述公司设计投资组合方案，用给定资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，总体风险尽可能小。 解答：由上题可知：决策变量：投资不同项目的为（i=1,2,...,n）。目标函数：净收益Q尽可能大、总风险尽可能小。约束条件：总资金M有限，每一笔投资都是非负数。模型假设：可供投资的资金数额M相当大。投资越分散，总的风险越小，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。可供选择的n+1种资产（含银行存款）之间是相互独立的。每种资产可购买的数量为任意值。在当前投资周期内，，，，（i=0,1,...,n）固定不变。不考虑在资产交易过程中产生的其他费用。由于投资数额M相当大，而题目设定的定额相对M很小，更小，因此假设每一笔交易都大于对应定额。模型建立：1）总体风险用所投资的中最大的一个风险来衡量，即.2）购买（i=1,2,...,n）所付交易费本来是一个分段函数，但假设中已假设每一笔交易都大于对应定额，所以交易费=，这样购买的净收益可以简化为.3）由以上可以得出：目标函数为：约束条件为：可以发现这是一个多目标规划模型，我们可以将其进行简化变成一个目标的线性规划。 模型简化：在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，这时可以给定风险一个界限a，使最大的一个风险 ，这样就可以将目标函数中的转换为约束条件（总体风险小于某个常数）。至此，模型用一般形式表现为：将数值代入进去得：这里M我们取1万元，由于a是任意给定的风险度，不妨a从0开始，以步长=0.001进行循环搜索，搜索至a=5%（低风险者能够接受的风险）。 编程实现：importmatplotlib.pyplotaspltfromnumpyimportones,diag,c_,zeros#用于创建和操作数组fromscipy.optimizeimportlinprog#用于执行线性规划#设置matplotlib的参数使其支持LaTeX文本和字体大小plt.rc('text',usetex=True)plt.rc('font',size=16)#线性规划问题的目标函数系数c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185]#线性不等式约束的系数矩阵#使用c_来合并数组，zeros创建一个全0的数组作为第1列，diag创建一个对角阵A=c_[zeros(4),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])]#线性等式约束的系数矩阵和右侧的值Aeq=[[1,1.01,1.02,1.045,1.065]]beq=[1]#初始化参数a，以及两个用于存储结果的空列表a=0aa=[]ss=[]#循环，a的值从0开始，以0.0001的步长增加，直到0.05whilea)plt.ylabel('$Q,rotation=90)#显示图形plt.show()风险a与收益Q之间的关系由上图可以看出：①风险不超过2.5%时，风险大，收益也大；②在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢。所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的转折点作为最优投资组合，大约是a=0.6%，Q=2000，所对应的投资方案为：风险度a=0.006，收益Q=2019元；=0元，=2400元，=4000元，=1091元，=2212元。