自动控制——过阻尼、欠阻尼、临界阻尼及无阻尼

见贤思齐

自动控制——过阻尼、欠阻尼、临界阻尼及无阻尼引言在自动控制系统和振动分析中，系统的阻尼特性对于系统的动态响应至关重要。阻尼决定了系统在受到扰动或输入信号后，如何恢复到稳定状态。本文将详细介绍过阻尼（overdamped）、欠阻尼（underdamped）、临界阻尼（criticallydamped）和无阻尼（undamped）的定义、公式，并通过Python代码演示不同阻尼条件下系统的响应。系统的阻尼特性考虑一个典型的二阶线性系统，其传递函数可以表示为：H(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2H(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}H(s)=s2+2ζωn​s+ωn2​ωn2​​其中：-ωn\omega_nωn​是系统的自然频率。-ζ\zetaζ是阻尼比，定义为ζ=c2mk\zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}}ζ=2mk​c​，其中ccc是阻尼系数，mmm是质量，kkk是弹簧常数。根据阻尼比ζ\zetaζ的不同，系统的动态响应分为以下几种类型：1.无阻尼（Undamped）当ζ=0\zeta=0ζ=0时，系统没有阻尼力的影响，其响应为纯粹的正弦波动，永不衰减。无阻尼系统在自然频率ωn\omega_nωn​下振荡。x(t)=Acos⁡(ωnt)+Bsin⁡(ωnt)x(t)=A\cos(\omega_nt)+B\sin(\omega_nt)x(t)=Acos(ωn​t)+Bsin(ωn​t)2.欠阻尼（Underdamped）当01\zeta>1ζ>1时，系统处于过阻尼状态。系统响应不再振荡，但相比于临界阻尼系统，它恢复到平衡所需的时间更长。x(t)=Ae(λ1t)+Be(λ2t)x(t)=Ae^{(\lambda_1t)}+Be^{(\lambda_2t)}x(t)=Ae(λ1​t)+Be(λ2​t)其中，λ1\lambda_1λ1​和λ2\lambda_2λ2​是系统的特征根，且λ1,λ21\zeta>1ζ>1）不会振荡，但比临界阻尼系统更慢地回到平衡状态。理解和设计适当的阻尼对于工程应用至关重要，能够有效避免系统的过冲、延迟或持续振荡。在实际应用中，通常会设计系统使其接近临界阻尼状态，以确保快速而稳定的响应。